Jokainen ymmärtää yhteen laskemisen ja siitä johdetun kertolaskemisen sekä jakolaskemisen. Näiden peruslaskutoimituksien paras sovellutus on toisen asteen yhtälön ratkaisemisen kaava, jonka joku saattaa muistaa keskikoulun ajoilta. Sen sijaan kun mennään joukko-oppiin, moni voi hämmentyä, koska siinä käsitellään pidemmälle mentäessä äärettömiä joukkoja. Kenelle tulisi ensimmäisenä mieleen, että ykkösen ja kakkosen väliin mahtuu äärettömän monta lukua. Ja vaikka siitä vähennettäisiin pois äärettömän monta lukua, jäljelle jäisi vielä äärettömän monta lukua.      Epäilijä voi aiheellisesti myös kysyä esimerkiksi, onko lausekkeella ”topologisen ääretön avaruus, jolla on äärettömän monta osajoukkoja ja jokaisella osajoukolla on äärettömän leikkauksen ominaisuus, on kompakti”, mitään järkeä.      Tässä kohtaa on aiheellista kysyä, mistä nämä lausekkeet tulevat? Tämä onkin filosofisesti suuri kysymys. Ei voi olla muuta vastausta kuin, että ihmisen pä...

Ääretön sana tulee helposti lausuttua yleiskielessä sen kummempaa syvällisyyttä esimerkiksi toteamuksessa ”Sinä selvisit siitä äärettömän hyvin.” Mutta kun alkaa pohtia sen eri vivahteita kuten äärettömän lyhyt aika, äärettömän suuri alue, äärettömän pieni hetki, alkaa valjeta sanan moni-ilmeisyys ja jopa pelottavuus. Matemaatikot rakastavat äärettömyyttä, sillä se on olennainen osa korkeampaa matematiikka ja eräiden lausekkeiden todistamista. Tämä tulee esille esimerkiksi siinä, kun lähes päässälaskuna todistetaan ympyrän pinta-ala. Siinä ympyrä jaetaan hyvin pieniin sektoreihin kärkipisteenä ympyrän keskipiste. Kun näin saadut viereiset sektorit asetetaan vierekkäin toisen kärki toisen kaaren puolelle, saadaan hyvin ohut lähes suorakaiteen muotisen  litteä pinta-ala. Kun jakoa tihennetään äärettömän pieniksi sektoreiksi ja nämä sektori asetetaan vierekkäin tosiinsa kiinni, saadaan suorakaiteen muotoinen ala, joka korkeus on ympyrän säde ja pituus puolet ympyrän kaaren pituude...

Mieliä kutkuttava asia on, että lukujen 1 ja 2 väissä on äärettömän monta lukua ja vaikka tältä väliltä vähennetään äärettömän monta lukua, jäljelle jää äärettömän monta lukua. Pakko lopettaa tämä asia tähän, sillä muutoin voi kuuppa himmetä. Toimittaja Mikko Pelttari esitteli tutkimuksiin perustuvia ja näkemyksiään ilmastonmuutoksesta. Hän toivoi, että olisi jokin kaikenkattava teoria ilmastosta. Sitä ei tienkään ole, vaikka ollaankin suuren ilmastokokouksen äärellä Glasgow’ssa kaiken selittävä teoria ei ole uusi oivallus, van se on kytenyt vuosi satoja Newtonin ja kumppaneiden sieluissa. Descartes oli samalla asialla ja jopa samaan aikaan. Pelttari toivoi, että tiedehenkilöt maailma löytäisivät tällaisen teorian. Pelttari ei sanonut kenenkään omaavan tällistä ajatus spiraalia. Kaiken kattava teoriaa on vimmatusti etsitty matematiikan alalta. Turhaan. Filosofit ovat sanoneet, että jos teoria löytyy ihmiskunta katoa ennen pitkään tai se löytää ikuisen onnen. Oma käsitykseni on, e...

     Jokainen ymmärtää yhteen laskemisen ja siitä johdetun kertolaskemisen sekä jakolaskemisen. Näiden peruslaskutoimituksien paras sovellutus on toisen asteen yhtälön ratkaisemisen kaava, jonka joku saattaa muistaa keskikoulun ajoilta. Sen sijaan kun mennään joukko-oppiin, moni voi hämmentyä, koska siinä käsitellään pidemmälle mentäessä äärettömiä joukkoja. Kenelle tulisi ensimmäisenä mieleen, että ykkösen ja kakkosen väliin mahtuu äärettömän monta lukua. Ja vaikka siitä vähennettäisiin pois äärettömän monta lukua, jäljelle jäisi vielä äärettömän monta lukua.      Epäilijä voi aiheellisesti myös kysyä esimerkiksi, onko lausekkeella ”topologisen ääretön avaruus, jolla on äärettömän monta osajoukkoja ja jokaisella osajoukolla on äärettömän leikkauksen ominaisuus, on kompakti”, mitään järkeä.      Tässä kohtaa on aiheellista kysyä, mistä nämä lausekkeet tulevat? Tämä onkin filosofisesti suuri kysymys. Ei voi olla muuta vastausta kuin, että i...

     Kaikki käyttävät ääretönilmaisua, kuin se olisi jokaisen baariystävä. Näin on parasta, sillä jos sitä alkaa likaa ajatella, se voi saada elämänsä sekaisin.   Mutta tämä ei ole vielä mitään, sillä äärettömän suuruus on vielä järkyttävämpi kuin sen pienuus.      Tämä tulee esille ajateltaessa nollan asema lukujonossa, jonka vasemmalla puolella ovat negatiiviset ja oikealla positiiviset luvut, siis luvun -1, -2,-3, jne ja 1, 2, 3, jne. Jos otetaan vaikka kuinka pieni nollan ympäristö eli lyhyt janan pätkä (esimerkiksi -0,000009 ja +0,000009), jonka toinen pää esittää hyvin pientä negatiivista ja toinen hyvin pientä pää positiivista lukua, tämä jana sisältää aina äärettömän monta lukua. Ja vaikka tätä janaa lyhennetään äärettömän pieneen asti, jana sisältää aina äärettömän monta lukua. Luulisi, että puolta lyhyempi jana sisältää puolta vähemmän lukuja, sillä muutoin vähennyslaskusääntö ei pitäisi paikkaansa. Ei se pidäkään, jos lähtee äärettömän kelk...