Jokainen ymmärtää yhteen laskemisen ja siitä johdetun kertolaskemisen sekä jakolaskemisen. Näiden peruslaskutoimituksien paras sovellutus on toisen asteen yhtälön ratkaisemisen kaava, jonka joku saattaa muistaa keskikoulun ajoilta. Sen sijaan kun mennään joukko-oppiin, moni voi hämmentyä, koska siinä käsitellään pidemmälle mentäessä äärettömiä joukkoja. Kenelle tulisi ensimmäisenä mieleen, että ykkösen ja kakkosen väliin mahtuu äärettömän monta lukua. Ja vaikka siitä vähennettäisiin pois äärettömän monta lukua, jäljelle jäisi vielä äärettömän monta lukua.      Epäilijä voi aiheellisesti myös kysyä esimerkiksi, onko lausekkeella ”topologisen ääretön avaruus, jolla on äärettömän monta osajoukkoja ja jokaisella osajoukolla on äärettömän leikkauksen ominaisuus, on kompakti”, mitään järkeä.      Tässä kohtaa on aiheellista kysyä, mistä nämä lausekkeet tulevat? Tämä onkin filosofisesti suuri kysymys. Ei voi olla muuta vastausta kuin, että ihmisen pä...

Babylonilaiset kauppamiehinä olivat eteviä kirjanpidossa tarvittavissa laskentamenetelmissä. Heiltä sujui toisen asteen yhtälön ratkaiseminen tosin eri kaavalla kuin nykyään. Se perustui etu päässä siihen, että etsittiin kokeilun avulla, mikä luku parhaiten toteuttaa yhtälön. Kreikkalaista aikakautta olisi oikeutetumpaa kutsua Arkhimedes’n ajaksi, sillä monet nykyajan matemaatikot pitävät häntä primus inter pares, paras parhaiden joukossa matemaatikkona, joka nykyaikana eläessään  olisi ratkaisut kirjaimellisesti ennennäkemättömiä ulottuvuuksia  differentiaali- ja integraalilaskennan menetelmillä. Kreikkalaisilta on peräisin myös Pythagoraan lause. Se kertoo, että suorakulmaisen kolmion kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö eli sivu a toisen + sivu b toiseen = vastakkainen sivu c toiseen. Tämä todistaminen käy piirtämällä kolme neliötä mainittuun kolmioon sivuina kateetit ja hypotenuusa. Jakamalla tämä härveli sopivasti kolmioihin niin, näiden avulla...

  Esitetään aluksi yksinkertainen lasku tehtävä, johon aniharva, ellei kukaan ole onnistunut löytämään ratkaisua. Sen löytämisestä on luvattu melkoinen raha määrä. Ratkaisun alkuun näyttää riittävän lukion pitkän matematiikan opinnot. Toisin käy, sillä mitä enemmän vastausta hahmottelee ja aivoissan pyörittelee, sitä turhautuvammaksi  tuntee itsensä tai kyllästymisen viitta lehahtaa yrittäjän harteilta kuin öinen huntu.    Kyllästymisen nopeus tai peräti pieni suuttumus johtuu ratkaisemisen alkuun pääsemisen helppoudesta, mistä vasta vaikeudet alkavat. Kyse on alkulukujen laskemisesta. Alkuluviksi kutsutaan lukuja, jotka ovat vain vain ykkösellä tai itsellään jaollisia, siis lukuja 1,3,5,7,11,13 jne. Moni ict-asiantuntija tietää, miten näitä lukuja etsitään ict-laitteella. Tehtävänä voisi olla esimerkiksi, mikä on 1000:n jälkeen seuraava alkuluku (1000 ei ole alkuluku). Ict-härveli löytää sen alle sekunnissa. Kun tällaisia kysymyksiä voidaan esittää tietokoneelle mil...

     Arkisessa kielenkäytössä avoin yhteiskunta tarkoittaa yhteiskuntia, jotka omaavat kaikki demokraattisen valtion elementit. Perusta on vallan kolmijako. Se käsittä sanan- ja kokoontumisvapaudesta lähtien kansalaisten tasavertaisiin oikeuksiin ja kohteluun saakka. Avoimuutta kuvaa hyvin vapaa matkustaminen ja elinkeinon harjoittamisen vapaus.      Topologisessa avaruudessa avoimella joukolla on analogia avoimeen yhteiskuntaan. Topologisen avaruuden joukko on avoin, jos sen jokaisella yksiköllä on ympäristö, joka kuuluu tähän joukkoon.      Tämä määritelmä sopii yllättävän hyvin myös hyvin toimivaan yhteiskuntaan.   Silloin jokaisella yhteiskunnan jäsenellä on vain sellaisia verkostoja, joiden jokainen jäsen kuuluu yhteiskuntaan. Tämän pitäisi näkyä myös politiikassa. Poliitikko ei saisi kuulua joukkoon, jolla on yhteiskunnan ulkopuolisia jäseniä. Tämä koskee kaikkia poliittisia toimijoita.

     Jokainen ymmärtää yhteen laskemisen ja siitä johdetun kertolaskemisen sekä jakolaskemisen. Näiden peruslaskutoimituksien paras sovellutus on toisen asteen yhtälön ratkaisemisen kaava, jonka joku saattaa muistaa keskikoulun ajoilta. Sen sijaan kun mennään joukko-oppiin, moni voi hämmentyä, koska siinä käsitellään pidemmälle mentäessä äärettömiä joukkoja. Kenelle tulisi ensimmäisenä mieleen, että ykkösen ja kakkosen väliin mahtuu äärettömän monta lukua. Ja vaikka siitä vähennettäisiin pois äärettömän monta lukua, jäljelle jäisi vielä äärettömän monta lukua.      Epäilijä voi aiheellisesti myös kysyä esimerkiksi, onko lausekkeella ”topologisen ääretön avaruus, jolla on äärettömän monta osajoukkoja ja jokaisella osajoukolla on äärettömän leikkauksen ominaisuus, on kompakti”, mitään järkeä.      Tässä kohtaa on aiheellista kysyä, mistä nämä lausekkeet tulevat? Tämä onkin filosofisesti suuri kysymys. Ei voi olla muuta vastausta kuin, että i...

     Joku nykii toista silmääni. Kumpaa. Tuulessa takapihalla puunoksat tempoilevat kuin kilpaillen parhaista paikoista. Lopuksi ikivanha pihlaja supistaa ne kuriinsa lähelle itseään ja samalla taivuttaa runkoaan hellästi ikkuna ruutua vastan kuin lupauksena minusta huolehtiminen. Arvostan sitä, koska talon papattava talonnainen oli juuri leikannut sen latvan irti. En ole vielä täysin tanuissani.   Yritän ryypätä litran vesimukista, mikä taas epäonnistuu veden kastellessa jälleen rintamukseni. Laiskuutta sanoo omatunto. Tv-ruudusta tunkeutuva sana posso koettelee ymmärryskykyjeni takarajoja. Vähitellen posso tointuu jonkinlaiseksi papinleuaksi, jota sai aikoinaan kotipitäjäni Haapajärven Häggmannilta. Yläaivot tuntuvat toimivan jonkin verran takaraivoni tarttuessa vain possoon ja sen kotkalaiseen torikansaan. Toinen silmä salpautuu kuitenkin taas kiinni iltaisen liimamaisen silmätipan kyvystä pitää kaksi nahan reuna paikoillaan. Yhtäkkiä ajatuksiini virtaa topologian...

HS:ssä oli juttu topologiasta https://www.hs.fi/paivanlehti/24072018/art-2000005761477.html . Tarkemmin sanottuna topologinen avaruus on pari X T, missä X on ei tyhjä joukko ja T on perhe X:n osajoukkoja, jotka täyttävät ehdot X ja ∅ kuuluvat T :en jokainen perheen T jäsenten yhdiste on T:n jäsen Jokainen T:n kahden jäsenen leikkaus on T:n jäsen. Arkikielessä topologialla ymmärretään usein maastonmuodostusta ja  sen keskeisiä piirteitä kuten metsäisyys, kasvillisuus, korkeuserot, vesistöt, kallioisuus jne.  Matemaattisella topologialla ei ole paljoa tekemistä näiden kanssa.

     Yhteiskunta ja sen ilmiöt ja toimintatavat muuttuvat yhä monimutaisemmiksi. Tähän kuvaan ei oikein sovi fraasi "lyhyen matematiikkani mukaan asia on näin". Käytännössä ei ole pitkä ei lyhyttä matikkaa. On vain tarve jäsentää kokonaisuutta, sen elementtejä  ja näiden riippuvuussuhteita.  Arkijärkeily ei aina riitä tähän, tunteet ja aatteet voivat hulmauttaa virhepäätelmiin, bisnesideakin voi mennä pieleen.      Kannattaa huomata, että matematiikan hyödyttämisessä yhteiskunnan ongelmiin on monta tasoa ja alaa. Prosenttilaskemisen hallinnasta ja riippuvuussuhteiden tajuamisesta on suurta hyötyä bisnestoiminnassa ja virkatehtävissä. Sarjat ovat oivia apuvälineitä finanssi ja rahoitusalalla. Tilastotiede auon hyvä renki lääketieteessä, väestötieteissä, laadunvalvonnassa puhumattakaan yhteiskuntatieteissä. Differentiaaliyhtälöt ovat kultakimpale monelle fysiikan sovellutukselle, jne.      Matemat...

      Kävellessäni ruokatunnilla ilmoitustaulun ohi aloin käsittää toimiston outoa oloa. Siinä oli pitkä lista viraston avoimia virkoja, jotka olivat toimiston lakkautettuja virkoja, mutta julkistettu avoimiksi keskushallituksessa. Näin tilanne oli muodostunut sellaiseksi, että kaikki epäilivät toisiaan toistensa virkojen hakemisesta.      Tämä ei häirinnyt minua lainkaan, vaan paransin tahtiani huoneeni uumenissa, vaikka yli-insinööri käski lopettaa lukutouhuni. Se nimittäin oli jo yleisessä tiedossa ja keskustelun aiheen ruokalassa. Vastatessani yli-insinöörille teekkareiden tekevän täällä kovalla palkalla diplomitöitään mies hieroi otsaansa ja sanoi jotain siihen suuntaan, että antaa olla.      Tunsin olevani vahvoilla miehen suhteen, sillä miehen lukitussa perähuoneessa oli käynyt koko toimistossa työskentelyni ajan toisen osaston hyvännäköisiä naisia tekemässä vaikka mitä – olin tästä vähän katkera miehelle. ...