Mielikuvituksissa tai paperille kirjoitettuna luvut 1, 2, 3, 4, jne
näyttävät muodostavan jatkuvan jonon. Se ei kuitenkaan ole jatkuva, sillä
jatkoimmepa sitä mihin lukuun saada siinä on jatkuvasti ykkösen mittainen
katkos. Sarjan tihentäminen ei auta, sillä aina on edessä katkos. Lumivyörykään
ei ole yhtenäinen virta. Vasta maaginen vesi H2O muodostaa yhtenäisen virran. Kos
piirretään jana, sen pisteet muodostavat jatkuvan viivan. Tämä siksi, että jos taikasauvalla
janasta merkitään yksi piste, niin kaikki janan muut pisteet ovat siitä
askeleen päässä. Askeleen suuruus kyllä vaihtelee, mutta aina on olemassa askel
taakse- ja eteenpäin. Olkoon mottomme elämässämme askel eteen päin.
Tästä voidaan mennä hieman abstraktisempaan näkökulmaan tarkastelemalla suoran yhtälöä y= ax+b. Se on jatkuva, koska sen jokaisen pisteen ympäristössä on ainakin yksi toinen suoraan kuulua piste. Tämä on helppo todistaa vastaväitteellä väittämällä, että suoralla on piste d, jonka ympäristössä ei ole yhtään suoran y = ax+b pistettä. Sijoittamalla yhtälöön y = ax + b x:n paikalle d saadaan y = ad + b. Vähentämällä yhtälöt toistaan saadaan 0 = ax – dx, sievennetään ja saadaan 0 = x(a – d). Tämä yhtälö pitää paikkansa ainoastaan ja vain jos x = 0 tai a = d. Tästä seuraa, että d on suoralla y= ax + b. Se ristiriidassa oletuksen kanssa.
Tästä voidaan mennä hieman abstraktisempaan näkökulmaan tarkastelemalla suoran yhtälöä y= ax+b. Se on jatkuva, koska sen jokaisen pisteen ympäristössä on ainakin yksi toinen suoraan kuulua piste. Tämä on helppo todistaa vastaväitteellä väittämällä, että suoralla on piste d, jonka ympäristössä ei ole yhtään suoran y = ax+b pistettä. Sijoittamalla yhtälöön y = ax + b x:n paikalle d saadaan y = ad + b. Vähentämällä yhtälöt toistaan saadaan 0 = ax – dx, sievennetään ja saadaan 0 = x(a – d). Tämä yhtälö pitää paikkansa ainoastaan ja vain jos x = 0 tai a = d. Tästä seuraa, että d on suoralla y= ax + b. Se ristiriidassa oletuksen kanssa.
Kommentit
Lähetä kommentti