Jokainen ymmärtää yhteen laskemisen ja siitä johdetun kertolaskemisen sekä jakolaskemisen. Näiden peruslaskutoimituksien paras sovellutus on toisen asteen yhtälön ratkaisemisen kaava, jonka joku saattaa muistaa keskikoulun ajoilta. Sen sijaan kun mennään joukko-oppiin, moni voi hämmentyä, koska siinä käsitellään pidemmälle mentäessä äärettömiä joukkoja. Kenelle tulisi ensimmäisenä mieleen, että ykkösen ja kakkosen väliin mahtuu äärettömän monta lukua. Ja vaikka siitä vähennettäisiin pois äärettömän monta lukua, jäljelle jäisi vielä äärettömän monta lukua.      Epäilijä voi aiheellisesti myös kysyä esimerkiksi, onko lausekkeella ”topologisen ääretön avaruus, jolla on äärettömän monta osajoukkoja ja jokaisella osajoukolla on äärettömän leikkauksen ominaisuus, on kompakti”, mitään järkeä.      Tässä kohtaa on aiheellista kysyä, mistä nämä lausekkeet tulevat? Tämä onkin filosofisesti suuri kysymys. Ei voi olla muuta vastausta kuin, että ihmisen pä...

Alkulukujen 1,2,3, jne ympärille on historian saatossa pesiytynyt ja parhaassa tapauksessa kehittynyt useita osin mystisiä taikapiirejä, Tunnetuin hyödytön on luku 666, joka on tulkittu pahuuden luvuksi. Se on täyttä pötyä.   Lukua seitsemän pidetään esimerkiksi Japanissa onnen lukuna. Luku 13 on maailmankuulu onnettomuuden luku. Aiemassa postauksessa käsittelin luonnollisia ja jaottomia lukuja. Nyt voi ottaa käsittelyyn eräitä vuosisatoja matemaatikkoja askarruttaneita lukukombinaatioita. Olkoon a, b ja c kahta suurempia luonnollisia lukuja ja n suurempi kuin 2. Piere de Fermatin lemman mukaan ei ole löydetty a^n + b^n = c^n yhtälölle ratkaisua. Selvyyden vuoksi tässä a^n tarkoittaa a potenssin n ja samaa koska b:tä ja c:tä. Matemaatikko Fermat eli 1700-luvulla ja hän väitti keksineensä ratkaisun esitettyyn yhtälöön, muta hänen väitteensä mukaan siitä oli tullut niin pitkä, että osa oli pitänyt laskea keittiön paperi verhoon, jonka vaimo oli jonkin riidan päätteeksi hävittänyt...

Jos jokin laskutoimitus pitäisi nimetä änkyräksi, niin kyllä se on murtoluvuilla laskeminen. Jo itse murtoluku käsiteenä on melkoinen vempula. Nämä muistuvat mieleeni, kun suoritin viidettä kertaa ehtojani oppikoulun viidennellä luokalla matematiikassa ja naapurin jalkapallohirmupoika äitini pakottamana yritti opetta minua niillä pirulaisilla laskemista. Osoittautui, että naapurin Matti ei osannut yhtään enempää, kuin minä käsitellä näitä ryökäleitä. Ehtojen läpäisy tapahtui armosta, koska oli jo neljänä vuotena peräkkäin keplotellut ehtoni läpi matematiikassa. Äiti odotti hartaasi, milloin valaistuisin tässä asiassa. Katsotaan ensin luku häkkyröitä 3/9 ja 5/4 ja niiden yhteen laskemista. Aiempi metodini oli laskea yhteen erikseen osoittajat ja nimittäjät eli tulos olisi ollut 8/13.Oikea vastus ei ole sinne päinkään. Jos nyt kuitenkin selväjärkien ihminen tarkastelee mainittuja lukua, mieleen tulee mitäänsanomattomuus. Nyt on vain kerta kaikkiaan tiedettävä opetuksen tuloksena, ett...

Kokonaislukuja 1,2,3… jne on pidetty kautta historian maagisina elementteinä ja ne muodostavat jokapäiväisessä laskemisessa käyttökelpoisen systeemin. Niitä kokonaislukuja, jotka ovat jaollisia vain ykkösellä ja itsellään, kutsutaan alkuluvuiksi. Tästä taas on poikinut vuosisatoja riivannut mysteeri alkuluvun yleiseksi kaavaksi. Ongelma voidaan pelkistää kysymykseen siitä, mikä on suuruusjärjestyksessä seuraava alkuluku alkuluvun n jälkeen.   Eli jos oletetaan, että luku 1111 on alkuluku niin, mikä on luvun 1111 jälkeen seuraava alkuluku. Tällaista kaava ei ole vielä keksitty. Tietokone voidaan kyllä panna laskemaan luvun 1111 jälkeinen alku luku a, mutta tämä tapa ei ole yleispätevä, koska tilanne voidaan laajentaa niin suurelle luvulle b, että tietokone kapasiteetti K ei riitä. Lukua a siis voidaan kasvattaa rajatta, mutta koneen kapasiteettia K ei.

Luentojen laiminlyönti kostautui ensimmäisen kerran fysiikan sähkötöissä. Luennoillahan aina kerrottiin, miten harjoitustöitä tehdään, mutta itse olin jäänyt näitä tietoja vaille tämän laiminlyöntini takia. Istuskelin silloin tällöin osakunnan ravintola Manalassa ja tapasin erään samalla kurssilla fysiikkaa opiskelevan nuoren naisen, joka suostui pyyntööni pyysi saada tulla fysiikan laitokselle katsomaan, miten hän teki siellä harjoitustöitään. Oletin selviytyväni töistä matkimalla häntä, ja menetelmä osoittautui pelottavan varmaksi ja myös samalla oppimattomuuden takaavaksi keinoksi. Loput töistä tein hääräämällä laitoksella valvoja-assistentin katseen alla puuhakkaan oloisena ja esittämällä hänelle matkimalla saadut tulokset. Sovelsin kemian töihin samaa periaatetta, minkä vuoksi oli selvää, etteivät tietoni näistä aineista karttuneet. Tämä töiden tekemättömyys kyllä kostautui minulle myöhemmin, koska jouduin myöhemmin opiskelemaan kaikki töiden tekemiseen liittyvät tiedot ja taidot,...

Voi herranen aika, mitä pölvästejä. No ei kenestäkään pitäisi sanoa noin, mutta opetushallituksen itseohjautumisen opit matematiikassa, ovat arveluttavia. Kokemus sanoo, että pitää edetä juuri päin vastaisessa järjestyksessä, eli ensin opettaja opettaa, miten kyseisen alan laskuja ratkotaan ja sen jälkeen oppilaat alkavat itse kokeilla, miten ratkaisut onnistuvat, ja opettaja auttaa, jos tulee vaikeuksia. Opettajan rooli matematiikassa uuden neuvonnassa on olennaisen tärkeää matematiikan luonteeseen kuuluvan täsmällisyyden takia, koska sinne päin olevalla laskutoimituksella ei ole käyttöä. Päinvastoin virheet voivat johtaa väärin toimenpiteisiin. Jos oppilas pannaan uuden tehtävän äärelle ilman alkuopetusta, hän saattaa tuntea itsensä alisuorittajaksi tai turhautuu, ja kyllästyy koko aineeseen.     

Matematiikan osaamisen taso on entisestään laskenut, kirjoitti tänään HS. Tämä on vakava asia, sillä moni nykyajan käytännön työ edellyttää matematiikan osaamista, ei laudatur tasolla, mutta hyvällä tasolla. Ei siinä vielä kaikki, sillä yhteiskunnan menestymisen kannalta matematiikkaan ja sen erityisalan differentiaaliyhtälöihin perustuva keksinnöllisyys on keskeinen tulijalka btk:n kasvattamisessa. Matematiikka on siitä erityinen osaamisalue, ettei sitä voi osasta sinne päin, vaan tietty sovellutus on hallittava virheettömästi. Huonollakin kielitaidolla saa asiat hoidetuksi elekielellä höystettynä, matematiikassa ei. Sinne päin osaamien tuottaa suutta ja sekundaa. Tilanteen tekee entistä hankalammaksi se, että todennäköisesti matematiikan taantuman seurauksensa miellä on myös vanhempien sukupolvi, joka ei osaa neuvoa lapsiaan tässä aineessa. Nyt ei auta muu kuin saada oppilaat harjoittelemaan kotanaan lisä tehtäviä, jos kouluopetus ei riitä. Tämä on satavarma tapa oppia, jopa alan...

Ääretön sana tulee helposti lausuttua yleiskielessä sen kummempaa syvällisyyttä esimerkiksi toteamuksessa ”Sinä selvisit siitä äärettömän hyvin.” Mutta kun alkaa pohtia sen eri vivahteita kuten äärettömän lyhyt aika, äärettömän suuri alue, äärettömän pieni hetki, alkaa valjeta sanan moni-ilmeisyys ja jopa pelottavuus. Matemaatikot rakastavat äärettömyyttä, sillä se on olennainen osa korkeampaa matematiikka ja eräiden lausekkeiden todistamista. Tämä tulee esille esimerkiksi siinä, kun lähes päässälaskuna todistetaan ympyrän pinta-ala. Siinä ympyrä jaetaan hyvin pieniin sektoreihin kärkipisteenä ympyrän keskipiste. Kun näin saadut viereiset sektorit asetetaan vierekkäin toisen kärki toisen kaaren puolelle, saadaan hyvin ohut lähes suorakaiteen muotisen  litteä pinta-ala. Kun jakoa tihennetään äärettömän pieniksi sektoreiksi ja nämä sektori asetetaan vierekkäin tosiinsa kiinni, saadaan suorakaiteen muotoinen ala, joka korkeus on ympyrän säde ja pituus puolet ympyrän kaaren pituude...

Babylonilaiset kauppamiehinä olivat eteviä kirjanpidossa tarvittavissa laskentamenetelmissä. Heiltä sujui toisen asteen yhtälön ratkaiseminen tosin eri kaavalla kuin nykyään. Se perustui etu päässä siihen, että etsittiin kokeilun avulla, mikä luku parhaiten toteuttaa yhtälön. Kreikkalaista aikakautta olisi oikeutetumpaa kutsua Arkhimedes’n ajaksi, sillä monet nykyajan matemaatikot pitävät häntä primus inter pares, paras parhaiden joukossa matemaatikkona, joka nykyaikana eläessään  olisi ratkaisut kirjaimellisesti ennennäkemättömiä ulottuvuuksia  differentiaali- ja integraalilaskennan menetelmillä. Kreikkalaisilta on peräisin myös Pythagoraan lause. Se kertoo, että suorakulmaisen kolmion kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö eli sivu a toisen + sivu b toiseen = vastakkainen sivu c toiseen. Tämä todistaminen käy piirtämällä kolme neliötä mainittuun kolmioon sivuina kateetit ja hypotenuusa. Jakamalla tämä härveli sopivasti kolmioihin niin, näiden avulla...

Luonnon tapahtuu jatkuvasti miljardeja mikro fyysisissä ilmiöitä, joissa pienet hiukkaset sattuman varaisesti vaihtavat paikkaa, kuitenkin niin, että atomin sisäinen tasapaino säilyy. Tässä tasapainoa voidaan verrata aurinkokuntaamme tasapainnon, jossa kukin planeetta pysyy omalla radallaan. Kuu ei ala kiertää armasta maapalloamme lähempänä, ejolloin meret alkaisi kiertää kuun painovoiman mukana ympäri maapalloa. Kymmen pistettä tästä kuulle. Niinpä koko aurinkokuntamme planeetat noudattavat täsmällisesti ratojaan välittämättä meidän muurahaisten touhusta tonteillamme. Mutta ne mikro-oliot. Ne ovat atomin isällä salaman nopeudolla pomppivia pienhiukkasia. Ne kokonaisuudessaan noudattavat lakeja, joilla atomin rakenne säilyy, mutta yksittäisen elektronin pomppinen atomin sisäisiltä radoilta toisille on sattumanvaraista. 1960-luvulla opiskellessani fysiikkaa tätä sattumanvaraisuutta ei epäilty. Professori Laurikainen on kirjoittanut aiheesta kirjan, jossa hän pitää elektronien pomppimist...

Päivän HS:ssä oli kivalla ja iloisella tavalla Suvi Pasasen mielipide juttu matemaattisesti ja muutoin lahjakkaista ihmisistä. Matematiikkaa karttavan ei tarvitse olla katkera siitä, ettei hän omasta mielestään ole lahjakas numeroissa. Hän voi sopivasti tuoda esille pärjäämisensä muilla avuillan työelämässään. Itse matemaatikkona koen, ettei arjen työelämässä ole useinkaan jyrkkä eroa matemaattisesti kyvykkään ja muita taitoja omaavan henkilön aikaansaannosten välillä. Toimenkuvassa usein esitetään työ tuomat vaatimukset. 40 vuoden urani aikana en ole törmännyt yhteenkään yritykseen ja organisaatioon, jossa pärjäisi vain matematiikalla. Matematiikasta voi olla jopa haittaa, jos sen kieltä jatkuvasti puhuu kahviossa ja kokouksissa. Jos eksaktivisuutta vaativissa tehtävissään aina painaa päälle matematiika edellä, työt saatavat loppua. Tämä siksi, että näin käyttäytyvät työntekijät eivät ymmärrä aiheuttamiaan haittoja työyhteisölleen. Matemaattisuuden yli valta kuuluu samaan sarjaa...

     Varmaankaan kukaan ei tule ajatelleeksi sanoessaan huoneen olevan tyhjän, mitä tyhjyys perimältään tarkoittaa. J oku voi muuttaa asumaan arkikielessä tyhjään huoneeseen ilman , ettei mikään huonekalu  tai kappale ei ole esteinä.      On vaikeaa kuvitella avaruudessakaan olevan tyhjää paikka, sillä paikalla on ainakin jonkin näistä säteilyisä: röntgen-, magneetti-, beeta-, gamma- ja ultravioletti- sekä taustasäteilyistä ja vetovoima-aalto. Oleteaan sellaisen olevan, mutta väistämättä siinä on jotain näistä: painovoimaa,  säteilyä, värähtelyä. Se olisi yksi laji helvetistä, jos siellä olisi happea.      Luulisi, että avaruuteen syntyy tavalla tai toisella tyhjää, sillä se on rajaton. Avaruuden sanotaan syntyneen alkuräjähdyksestä, koska se laajenee kiihtyvällä nopeudella kaikkiin suuntiin. Siis sen kappaleet etääntyvät toisistaan eri suuntiin. Tätä kutsutaan avaruuden inflaatioksi. Avaruus harvenee.  Mutta sitä ei pystytä to...

     Jokainen ymmärtää yhteen laskemisen ja siitä johdetun kertolaskemisen sekä jakolaskemisen. Näiden peruslaskutoimituksien paras sovellutus on toisen asteen yhtälön ratkaisemisen kaava, jonka joku saattaa muistaa keskikoulun ajoilta. Sen sijaan kun mennään joukko-oppiin, moni voi hämmentyä, koska siinä käsitellään pidemmälle mentäessä äärettömiä joukkoja. Kenelle tulisi ensimmäisenä mieleen, että ykkösen ja kakkosen väliin mahtuu äärettömän monta lukua. Ja vaikka siitä vähennettäisiin pois äärettömän monta lukua, jäljelle jäisi vielä äärettömän monta lukua.      Epäilijä voi aiheellisesti myös kysyä esimerkiksi, onko lausekkeella ”topologisen ääretön avaruus, jolla on äärettömän monta osajoukkoja ja jokaisella osajoukolla on äärettömän leikkauksen ominaisuus, on kompakti”, mitään järkeä.      Tässä kohtaa on aiheellista kysyä, mistä nämä lausekkeet tulevat? Tämä onkin filosofisesti suuri kysymys. Ei voi olla muuta vastausta kuin, että i...

     Pitkän linjan matematiikan opettaja Timo Salmi kertoo HS:n kirjoituksessa 25.5 https://www.hs.fi/sunnuntai/art-2000006117803.html että uusien ohjeiden mukaan pitkän matematiikan kirjoittamisesta saa tuplasi pisteitä yliopistoon pyrkimisessä. Tästä seuraa tason lasku, koska heikotkin oppilaat on pakko päästää läpi. Salmelle vastasi 26.5 vuoden matematiikan opettaja Marika Toivola US.fi:ssä (http://mrstoivola.puheenvuoro.uusisuomi.fi/276564-pitka-matematiikka-ei-ole-vain-harvojen-ja-valittujen-saavutettavissa), ettei taso laske ja että opettajien pitää erikoistua myös matematiikan sisällä ja tätä kautta parantamaan asenteita matematiikka kohtaan.      Ole käynyt läpi kaikki vaikeuksien vaiheet matematiikan opiskelussa. Kansakoulussa kukaan ei ollut kiinnostunut osaamisestani. Keskikoulussa huomattiin, etten osaa edes murtolukuja. Sain ehdot aiheesta joka vuosi huolimatta maksullisista tukikursseista. Jäin lukion toiselle luokalle lukuaineiden keskiarvo...

     Joku nykii toista silmääni. Kumpaa. Tuulessa takapihalla puunoksat tempoilevat kuin kilpaillen parhaista paikoista. Lopuksi ikivanha pihlaja supistaa ne kuriinsa lähelle itseään ja samalla taivuttaa runkoaan hellästi ikkuna ruutua vastan kuin lupauksena minusta huolehtiminen. Arvostan sitä, koska talon papattava talonnainen oli juuri leikannut sen latvan irti. En ole vielä täysin tanuissani.   Yritän ryypätä litran vesimukista, mikä taas epäonnistuu veden kastellessa jälleen rintamukseni. Laiskuutta sanoo omatunto. Tv-ruudusta tunkeutuva sana posso koettelee ymmärryskykyjeni takarajoja. Vähitellen posso tointuu jonkinlaiseksi papinleuaksi, jota sai aikoinaan kotipitäjäni Haapajärven Häggmannilta. Yläaivot tuntuvat toimivan jonkin verran takaraivoni tarttuessa vain possoon ja sen kotkalaiseen torikansaan. Toinen silmä salpautuu kuitenkin taas kiinni iltaisen liimamaisen silmätipan kyvystä pitää kaksi nahan reuna paikoillaan. Yhtäkkiä ajatuksiini virtaa topologian...

     Matematiikka on hyvin demokraattinen ala. Siinä voi aivan noviisi keksiä elegantin ratkaisun auktoriteettien edessä. Tässä juju piilee siinä, että noviisi keksii yksinkertaisen ratkaisun auktoriteettien junnatessa päätään seinään. Matematiikka on myös demokraattinen siinä mielessä, että olkoon yksilöllisen opetuksen taso ja määrä kuinka suuri tahansa, matemaattinen kyvykkyys tällä korkealla kykytasolla olevalla henkilöllä ei enää lisäänny. Tällöin puhutaan huipuista.      Matematiikan kieli on myös kansanvälisin kieli.      Sanottu pätee ei vain matematiikkaan, vaan myös monelle muulle työelämän ja yrittämisen alalle .      Oman alan löytymisessä kiinnostus ja oppiminen ovat kaiken edellytys. Oppineisuuden ei kuitenkaan tarvitse olla akateemista, vaan mikä tahansa ala ja tieto kelpaavat. Kannattaa kuitenkin huomata, että korkea oppineisuus ei ole pahitteeksi. Se voi tarjota hyvän kyytipoj...

     Matematiikasta vallitsee muuttamia harhakäsityksiä, kuten matematiikka vaatii erityislahjakkuutta, matematiikka on poikien laji, matematiikka edellyttää erityisen johdonmukaista ajattelua. Ei matematiikka edellytä mitään sen kummempaa johdonmukaisuutta kuin mikä tahansa päämäärähakuinen työ.      Matematiikan opiskelu vaatiikin aivan samaa kuin minkä tahansa aineen opiskelu. Se vaatii kovaa työtä ja käytännön harjoittelua. Jälkimmäisen laiminlyömisestä menestymättömyys aineessa useimmiten johtuu. Niin teoreettista, kuin aine joskus onkin, sitä ei voi opiskella teoriassa. Harjoittelun puute johtaakin jyrkkenevään alamäkeen, koska uuden oppiminen perustuu voimakkaasti edellä opittuun, mikä tilanne ei ole suinkaan monessa muussa aineessa.      Tällöin ainekset vihaan matematiikkaa kohtaan ovat valmiit ja usein lyödään kintaat tiskiin, koska mikään ei näytä onnistuvan. Ei onnistuta, koska on pudottu kärryiltä. Pitää ottaa vain ottaa ky...

Kun katsoo matemaattista yhtälöä, tulee heti matemaattiselle päälle. Kaikki julmuus, sodat, riidat ahneus, kauna, kamaluus, ahdinko, masennus väistyy. Jäljelle jää pelkkä rajattu selkeys, joka vain on vaatimatta mitään, mutta viekoittelee eleettä ja ääneti lähestymään olevaisuudelle kirjattua   olemattomuutta. Se ei pelottele tai uhkaa, vaan työntyy tajuun ja istuu sen parhaalle paikalle viskaten ärjymättä asiattomat sivuun. Sen itsevarmuudesta huokuu välinpitämätön huolettomuus ratkaisijan tekemisiä kohtaan. Se ei suutu eikä osoita mieltään, vaikka ratkaisija kuinka törmäyttelee sitä seinästä seinään, onhan se loukkaantumaton ja kuolematon. Se jopa hymyilee, jos ratkaisija seikkailee väärillä vesillä, jos ratkaisija lähestyy tai jopa hipaisee sen erilaisia salattuja ovia. Mitä lähemmäksi ratkaisija pääse oikeita ovia, sitä enemmän se päästää salaisesta hanastaan ratkaisijalle humalluttamatonta huumaavaa viiniä. Tässä vaiheessa se tietää ratkaisijan pääsevän sisälle ainakin yhdestä...

     Yle Areena esitettiin 8.11.17 ajattelua ravisteleva ohjelma matematiikasta ”Suuri matematiikkamysteerio ( https://areena.yle.fi/1-3551595 ). On aina ollut melko yleisessä tiedossa, että   matematiikka on yksi suurista maailman yhteisistä kielistä. Mutta ei tämä tee siitä mitään erikoista, pyrkiihän esperanto aikoinaan olemaan suuri yhteinen kieli, turhaan.      Hääriessäni Helsingin yliopistossa matematiikan kimpussa 1960-luvulla ohjelmassa esitettyä näkökulmia häivähteli pöytäkeskusteluissamme. Ne tyrehtyvät kuitenkin milloin mihinkin, itse matematiikan oppimiseen, kurssipaineisiin, kurssiharjoituksiin, muiden aineiden aiheuttamiin lukuponnisteluin ja opiskelijaelämän rientoihin.      J älkeenpäin luokka- ja yksityisopettajana sekä tietokirjailijana olen silloin tällöin palannut matematiikan filosofian pohdiskeluin ja perehtynyt sitä käsitteleviin kirjoihin. Kerran lukion eka luokkalaiset ja heidän vanhemmatkin yllättäen kiinnost...

     Ylioppilaskirjoitusten matematiikan koe on tarkoitus tehdä tietokoneella 2019 alkaen (https://www.hs.fi/kotimaa/art-2000005395337.html). Se on herättänyt aiheellista kritiikkiä. Matemaattinen esitys ja siihen liittyvät ongelman ratkaisu, laskeminen ja dokumentointi on tiivistä, koska esitys perustuu sitä varten luotuun erikoiskieleen. Kieli koostuu merkeistä, symboleista, kaavoista ja vakioesitystavoista.      Tärkein vaikuttava tekijä esitykseen on tietenkin se, mitä oppilas on oppinut matematiikasta, mikä tarkoittaa muistamista, oivallusta ja luovuutta sekä kykyä käyttää matematiikan kieltä.      Yhteisestä matematiikan kielestä johtuu, että matemaattiselle esitykselle on ominaista tiiviys ja lyhyys. Ehkä tästä syystä matematiikka on joskus kutsuttu kauniiksi ja verrattu runouteen. Tämä ei tietenkään tule ensimmäisenä niiden mieleen, jotka juuri nyt kamppailevat ratkaisemattomalta tuntuvan matemaattisen ongelman kanssa.  ...