Ääretön sana tulee helposti lausuttua yleiskielessä sen kummempaa syvällisyyttä esimerkiksi toteamuksessa ”Sinä selvisit siitä äärettömän hyvin.” Mutta kun alkaa pohtia sen eri vivahteita kuten äärettömän lyhyt aika, äärettömän suuri alue, äärettömän pieni hetki, alkaa valjeta sanan moni-ilmeisyys ja jopa pelottavuus.
Matemaatikot rakastavat
äärettömyyttä, sillä se on olennainen osa korkeampaa matematiikka ja eräiden lausekkeiden
todistamista.
Tämä tulee esille esimerkiksi
siinä, kun lähes päässälaskuna todistetaan ympyrän pinta-ala. Siinä ympyrä jaetaan hyvin pieniin sektoreihin kärkipisteenä ympyrän keskipiste. Kun näin saadut viereiset
sektorit asetetaan vierekkäin toisen kärki toisen kaaren puolelle, saadaan
hyvin ohut lähes suorakaiteen muotisen litteä pinta-ala. Kun jakoa tihennetään
äärettömän pieniksi sektoreiksi ja nämä sektori asetetaan vierekkäin tosiinsa kiinni,
saadaan suorakaiteen muotoinen ala, joka korkeus on ympyrän säde ja pituus
puolet ympyrän kaaren pituudesta eli pii x r toiseen, joka on ympyrän
pinta-ala.
Äärettömyyden käsitettä voidaan lähestyä
myös kahden saman keskeisen ympyrän avulla ja todistaa että, vaikka toinen
ympyrä on paljon pienempi kuin toinen, kummankin kehä muodostuu yhtä monesta pisteestä.
Tämä käy helposti niin, että piirretään yhteisestä keskipeisteestä jana, joka päätyy isomman kehälle. Piirtämällä janoja ääretön määrä saadaan pienemmän ympyrän kaaren jokaiselle pistelle yksiselitteinen vastinpiste isomman ympyrän kehälle ja kääntäen saadaan isomman ympyrän jokaiselle pisteelle yksiselitteinen vastinpiste pienemmän ympyrän kaarelle eli vaikka ympyröiden kehät ovat eri suuri, niillä on yhtä monta pistettä, koska yksiselitteiset vastinpisteet ovat olemassa.
Tämä esimerkki antaa viitteitä siitä, että ääretön on mahtisana sillä, jos siitä vähennetään ääretön jäljelle jää ääretön tai jos siihen lisätään ääretön tulos on taas ääretön. Ilman ääretöntä meillä ei olisi integraali- ja differentiaalilaskentaa, mikä olisi katastrofi mm avaruusmatematiikalle.
Kommentit
Lähetä kommentti