Terveelle järjelle on monta lempinimeä ja sillä on tuhottu monta maatilaa ja firmaa. Ajatellaan kuitenkin positiivisesti. Yritetään ratkaista sen avulla ympyrän pinta-ala ala-asteen peruskoulun
tietoihin perustuen. Ympyrän kehän pituus kyllä pitää tietää, sehän on = 2x pii
x r.
Piirretään harpilla ympyrä ja sille vaakasuora halkaisija. Syntyy kaksi puoliympyrää. Otetaan käsittelyyn ylempi. Pilkotaan se pieniin ”kakku”viipaleisiin, joiden kärki on keskipisteessä. Käännetään kaksi vierekkäistä viipaleetta vastakkain niin, että toisen paksumpi pää tulee toisen ohuemman pää päälle. Kun viipaleen paksuutta pienenetään äärettömän pieneksi, saadaan ohut suorakaide. Kaikki kaksoisviipaleet asetetaan päällekkäin. Saan näiden suorakaide-viipaleiden torni, jonka leveys säde r= puolet halkaisijasta, mutta mikä on tornin korkeus. Sen täytyy olla puolet kehän puolikkaan pituudesta eli pii x r/2, joka on samalla tornin korkeus. Tornin pinta-ala on siis = pii x r2/2, joka on myös puoliympyrän pinta-ala. Alapuoli ympyrästä lasketaan samalla tavalla. Tornien yhteinen pinta-ala on siis pii x r x r= pii x r2, joka on sana kuin ympyrän pinta-ala.
Olennaista on huomata, että kun kaksi viipaletta asettaan vastakkain toisen paksumpi pää toisen ohuemman päälle, silloin katoaa kehän pituuden siitä osuudesta pituudesta puolet, jotka ko viipaleet yhdessä katattaneet eli vastakkainen asetetut kaikki viipaleet yhdessä eivät riitä kattamaan koko kehän puolikasta, vaan vain puolet siitä.
Tämä laskutapa lähenee ideaa, miten integraalilaskentaa käytetään kuvioiden pinta-alojen laskemisessa. Tämä pieneltä osin selittää derivoinnin ja integroinnin kehitysvaiheita vaativimpiin sovellutuksiin.
Piirretään harpilla ympyrä ja sille vaakasuora halkaisija. Syntyy kaksi puoliympyrää. Otetaan käsittelyyn ylempi. Pilkotaan se pieniin ”kakku”viipaleisiin, joiden kärki on keskipisteessä. Käännetään kaksi vierekkäistä viipaleetta vastakkain niin, että toisen paksumpi pää tulee toisen ohuemman pää päälle. Kun viipaleen paksuutta pienenetään äärettömän pieneksi, saadaan ohut suorakaide. Kaikki kaksoisviipaleet asetetaan päällekkäin. Saan näiden suorakaide-viipaleiden torni, jonka leveys säde r= puolet halkaisijasta, mutta mikä on tornin korkeus. Sen täytyy olla puolet kehän puolikkaan pituudesta eli pii x r/2, joka on samalla tornin korkeus. Tornin pinta-ala on siis = pii x r2/2, joka on myös puoliympyrän pinta-ala. Alapuoli ympyrästä lasketaan samalla tavalla. Tornien yhteinen pinta-ala on siis pii x r x r= pii x r2, joka on sana kuin ympyrän pinta-ala.
Olennaista on huomata, että kun kaksi viipaletta asettaan vastakkain toisen paksumpi pää toisen ohuemman päälle, silloin katoaa kehän pituuden siitä osuudesta pituudesta puolet, jotka ko viipaleet yhdessä katattaneet eli vastakkainen asetetut kaikki viipaleet yhdessä eivät riitä kattamaan koko kehän puolikasta, vaan vain puolet siitä.
Tämä laskutapa lähenee ideaa, miten integraalilaskentaa käytetään kuvioiden pinta-alojen laskemisessa. Tämä pieneltä osin selittää derivoinnin ja integroinnin kehitysvaiheita vaativimpiin sovellutuksiin.
Kommentit
Lähetä kommentti